随着吊装设备的大型化、重型化以及吊装距离的增加，吊装难度越来越大，吊装方式更加复杂。为了能够适应更加复杂的工作环境、安全高效地制定吊装方案，各种三维虚拟吊装仿真系统应运而生，如国内的三维吊装仿真系统以及国外的3D Lift Plan、Lift Planner 以及KranXpert 等。

臂架挠度形变包括变幅平面内的挠度和回转平面内的挠度，是起重机尤其是大吨位箱形臂结构的起重机在吊装作业过程中难以克服的问题。因此，在吊装规划及仿真系统中考虑臂架挠度因素的影响具有十分重要的现实意义。

然而，目前的吊装仿真系统均将起重机臂架作为刚体考虑，未考虑挠度形变对起重机吊装运动的影响，更没有将臂架的挠度形变通过三维模拟进行直观地展示。因此，通过这些仿真系统得到的吊装运动方案可参考性不强，实际指导意义不大，甚至出现错误指导的情况，严重影响这些现有技术的实用性，以及吊装作业的安全性。

究其原因，在吊装仿真领域实现较准确的臂端挠度实时计算难度较大。目前，实现挠度主要有两种方法：1）根据经典力学理论，从挠曲线微分方程出发，利用有限差分法或放大系数法求解起重机箱形伸缩臂的挠度和弯矩；2）通过建立臂架有限元模型，通过Ansys 等工具软件，分析臂架挠度变形情况。经典的力学公式计算虽然易于计算机编码，但公式中很多参数难以获取，且由于有很多假设条件，计算精度偏低； 有限元分析方法虽然可模拟起重机的全部工况，但精度依赖于有限元模型，需多次迭代，耗时长。因此，这两种方法均不适用于在吊装方案规划系统中实现吊臂臂端挠度实时仿真分析和挠度形变显示。

为此，本文提出一种通过多维插值实时计算挠度以及基于拟合曲线的起重机臂架挠度形变显示方案，能够实时地进行臂架挠度形变的动态计算和三维模拟，使吊装仿真过程更加符合实际工况，从而能在一定程度上提前规避由于挠度形变所导致的安全性问题。

1 臂架形变测量

快速及较准确的臂端挠度实时计算是实现三维虚拟吊装仿真系统的必备关键技术，它对空间碰撞检测、起重机接地比压计算以及规划可行吊装路径有着非常重大影响。因此，如何精确、便捷的测量臂架挠度对确保起重机设计性能和起重安全具有重要意义。

目前，对于臂架挠度的测量（包括旁弯测量）主要有如下几种：

1）手动测量 在吊钩处悬挂钢丝，通过钢尺测量出钢丝距回转中心的水平距离，并与没有挠度时的工作幅度对比，从而得到臂架挠度。钢丝悬挂测量受风动影响很大，且人工读数的方式误差较大，测量结果精度较低。该方式仅能测试起重机特定工况、特定吊重、特定姿态下的臂架挠度值。测量点很多时，测试人员劳动强度较大、误差较大，也不适用于动态测量。

2）光束检测法测量 在臂架两端分别安装发射和接收光束设备，一般为激光仪和目标靶，通过发射和接受光束的位置差计算得到臂架下挠度和旁弯度。光束检测方式的安装比较复杂，且如果激光束被遮挡，不能正常发射至目标靶或反射到探测器上，则不能保证测量精度。

3）基于图像处理的测量 通过至少2 台相机对臂架标记点实时拍摄，采用图像处理方法对图片进行拼接和滤波跟踪，并得到拼接后图像中各标记点的三维坐标，进而计算得到臂架扰度。该方式对测试设备（相机）的要求较高、对相机安装位置的要求也很高。此外，数据采集熟读及精度依赖于图像处理算法，图像处理及软件开发的难度较大（见图1）。

图1 臂架形变

本文提出的一种新的起重机臂架挠度测量系统采用高精GPS 技术，分别在臂架测量位置及起重机基本臂根部安装高精GPS 移动站和高精GPS 基准站。测量系统的结构图如图2 所示。

图2 臂架挠度测量系统结构图

高精GPS 移动站安装在臂架的对应测点上，其安装数目由测点数决定。为了获得较精确的吊臂臂端下挠度与旁弯度，至少需要安装2 台高精GPS 移动站，其中高精GPS 移动站1 安装在起重机基本臂背板的测点B 处（测点B 位于起重机基本臂根铰点与变幅液压缸－臂架铰点之间，且在起重机基本臂的中心线上）；高精GPS 移动站2 安装在吊臂末端的C 测点处。

高精GPS 基准站安装在起重机基本臂根部，且将该处作为参考测点A。高精GPS 基准站将差分GPS 改正数通过内置无线电台发送给高精GPS 移动站1 和高精GPS 移动站2，然后高精GPS 移动站1 和高精GPS移动站2 又将修正后的测点B 和测点C 相对于参考测点A 的精确三维坐标，通过无线电台传输给高精GPS基准站。

微机处理系统由显示器、单片机、采集卡等组成，并带串口、CAN 口、以太网接口。微机处理系统安装在起重机操作室，一方面与高精GPS 基准站连接，实时采集测点A、B 、C 的三维坐标；另一方面，接入起重机总线网络，采集幅角与臂长数据。微机处理系统根据上述测量数据，自动计算吊臂臂端下挠度与旁弯度，并实时输出在显示器上。此外，也可通过微机处理系统自带的串口、CAN 口、以太网接口，将吊臂臂端下挠度与旁弯度数据实时输出给其他终端。

（a）回转平面挠度 （b）变幅平面挠度

图3 臂架挠度测量示意图

如图3 所示，假定某一时刻微机处理系统采集到的测点A、B 、C 的三维坐标分别为：A（x A，y A，z A）、B（x B，y B，z B）、C （x C，y C，z C），起重机幅角与吊臂长分别为α 和L 1。臂架挠度形变应考虑变幅平面内挠度和回转平面内挠度（旁弯度）。

1）变幅平面内挠度

根据测量的三维坐标值，计算得到此时吊臂末端距基本臂根部的水平距离和高度分别为

而通过三角函数关系，计算出未发生挠度形变时吊臂末端距基本臂根部的水平距离R ´ 和高度H´ 分别为

通过对比R 、H 与R ´、H´，即可得到臂架末端变幅平面内水平方向和高度方向的挠度值分别为

2）回转平面内挠度（旁弯度）

测点B 位于起重机基本臂根铰点与变幅液压缸－臂架铰点之间，且在起重机基本臂的中心线上。由于来自变幅液压缸的力矩作用，可视为起重机吊臂上测点A至测点B 的吊臂段未发生旁弯，或旁弯度可忽略不计。因此，在回转平面内，吊臂末端测点C 与测点A、B 所在直线的距离即为此时的臂架旁弯度。由测点A、B 的坐标可得回转平面内直线AB 的方程为

因此，可计算得到测点C 距直线AB 的距离为

故，此时臂架末端的旁弯度 f =d 旁弯。本文中采用高精GPS 技术进行起重机臂架挠度测点定位，可以进行动态的连续测量，观测时间短且，进行连续的动态测量，使选点工作更加灵活。定位精度高，误差可小于1 mm。

2 基于多维插值的臂架形变计算

由于起重机臂架挠度测量是离散的，受限于测试条件，无法测试起重机臂架在任意起升、变幅角度以及任意吊重下的挠度形变值，故需要对测量值进行插值计算。本论文提出一种在吊装仿真系统中实现臂端挠度值实时计算的多维插值方法，获取任意幅度和起重量下的水平方向和高度方向挠度值，指导吊装方案的制定。该方法的具体实现步骤为：

1）数据样本的选择

在起重机某一固定工况下，臂端挠度值随工作幅度和起重量的变化而变化，而工作幅度和起重量的变化又必须在起重机性能表规定的变化范围内，故当选择插值数据样本时，也以性能表为参考制作插值数据表。以QAY500 型起重机为例，起重性能表的形式如表1 所示，绿色部分的一列代表一个工况。下面将以此表为例，具体说明如何制作插值数据表。

以飘红的工况为例，其工作幅度的范围是确定的，为16 ～ 46 m，且工作幅度为16 m 时对应的起重量范围最广，为0 ～ 23.1 t。随着工作幅度的增加，起重量范围逐步缩小，当工作幅度为46 m 时，对应的起重量为0 ～ 13 t。为了在较少样本容量的基础上尽量精确地插值求解出任意幅度和起重量下的水平和高度方向挠度值，原始数据样本中必须存在最小幅度最大起重量、最大幅度最小起重量、最小幅度最小起重量、最大幅度最大起重量处的水平和高度方向挠度值。为了通过插值较为精确地获得18 m 幅度下起重量为5 t 时水平/ 高度方向挠度值，原始样本中必须有18 m 幅度下起重量小于或等于5 t 所对应的水平/ 高度方向挠度值。因此，必须增加最大幅度最小起重量、最小幅度最小起重量处的水平和高度方向挠度值作为原始样本数据，增加原则为

式中：ΔT 为增量；T Q 为最大幅度处对应的最大起重量；n 为起重量数据点数目，建议为3。

因此，还需要增加n 个起重量数据点，分别为

根据上述原则，以QAY500 型起重机为例，表1 中飘红的工况需要的插值数据如表2 所示，表中红色部分为插值所需提供的样本数据—水平方向或高度方向挠度值。

2）插值算法

以表2 中提供的样本数据，插值求解高度方向挠度值过程为：在吊装仿真系统中，起重机在起吊点的初始工作幅度是已知的，假定为R 起。在变幅运动过程中，起重机臂端挠度不断变化。假定变幅步长为Δr （趴杆为正，抬臂为负），经过n 个变幅步长之后，当前的幅长为

该插值计算方法便于编程实现，满足吊装仿真系统中对臂端挠度计算实时性的要求；适用于起重机所有的工况类型，且以实测原始数据为基础，精度较高。

图4 双线性网格节点二维插值

3 吊装规划系统中形变模拟

在吊装规划及仿真系统中，由于目前的吊装仿真系统均将起重机臂架作刚体考虑，未考虑挠度形变对起重机吊装性能（如起吊能力、工作幅度、起重力矩百分比等性能指标）及仿真运动的影响，更未将臂架的挠度形变通过三维模拟进行直观地展示，导致制定的吊装指导方案与实际吊装作业情况差别较大。因此，通过这些仿真系统得到的吊装运动方案可参考性不强，实际指导意义不大。

本文提出一种基于拟合曲线的起重机臂架挠度形变显示方案，能够实时地进行臂架挠度形变的三维模拟。

1）建立吊臂三维模型

以某型全地面起重机为例，其7 节吊臂均采用椭圆形截面，如图5a 所示。为了在吊装仿真过程中快速跟踪挠度拟合曲线，这里将吊臂进行近似处理。从图5a可以看出，椭圆形截面分为长轴和短轴，故将吊臂截面近似成长方形，即椭圆形截面的长轴为长方形的长，短轴为长方形的宽。经过截面的近似处理，B02 全地面起重机的7 节吊臂可分别等效成7 个长方体。以基本臂为例，根据吊臂的实际尺寸信息，得出吊臂三维等效模型如图5b 所示。

（a）吊臂截面图 （b）基本臂的三维模型

图5 起重机吊臂截面及模型

2）基于专家经验的吊臂分段策略

为了更加平滑地跟踪挠度拟合曲线，必须将各节吊臂的长方体模型进一步细分成若干段长方体，还要兼顾模型的渲染速度与画面效果。因此，如何划分各节吊臂的段数就成为臂架挠度显示非常关键的一环。本文以基本臂三维模型为例，来说明吊臂的分段策略。

根据专家经验，当吊臂的分段数使每一个长方体分段平均承担该节吊臂最大挠度形变比的大约1/100 时，就能很好地协调模型渲染速度和挠度形变的平滑。则基本臂的分段数n 0 满足

式中：l 0 为基本臂的长度，l 0_max 为基本臂末端在的最大挠度值。

根据分段策略，将该起重机的吊臂共分为n 段长方体模型，其中基本臂分为n 0 段，第1 节伸缩臂分为n 1段，第2 节伸缩臂分为n 2 段，第3 节伸缩臂分为n 3 段，第4 节伸缩臂分为n 4 段，第5 节伸缩臂分为n 5 段，第6 节伸缩臂分为n 6 段。

采用基于拟合曲线的吊臂挠度动态模拟法，即在吊装仿真过程中，建立以起重机回转中心为原点的三维空间坐标系，如图6 所示。将B 02 吊臂中每段长方体模型的中心点坐标依次记为Q1（x 1, y 1, z 1）、Q2（x 2, y 2,z 2）、……、Qn（xn , yn , zn），则连接各个中心点构成中轴线l，使l 尽量逼近此时的挠度拟合曲线，就实现了吊臂的挠度显示。

图6 起重机吊臂三维空间坐标系

假定某一时刻起重机的变幅角度为α ，回转角度为β ，总臂长为L ，6 节伸缩臂的伸出量分别为l1、l2、l3、l4、l5、l6，吊重值为T 。则有基本臂中每段的长度为

同理，其他6 节伸缩臂中每段的长度分别为

若点Qt（xt , yt , zt）（1 ≤t ≤n ）是某个分段长方体的中心点，则该点处的臂长L Q 可计算为

根据臂长L Q、变幅角度为α 、吊重值为T ，查询挠度拟合曲线即可以获得点Qt 处的挠度形变值Δy 和幅度值R Q，则点Qt 经过挠度形变之后的Y 坐标为

点Qt 的X 坐标与Z 坐标表示如图7 所示。在图中，假定点Qt 经过挠度形变之后在XZ 平面内的投影为Qt´，则点Qt 经过挠度形变之后的X 坐标与Z 坐标分别为

在吊装仿真运动过程中，根据挠度拟合曲线，按照上述方法实时计算起重机各分段长方体模型中心点坐标，并以此构造起重机臂架各分段长方体模型，即可实现起重机臂架挠度的动态显示。

图7 起重机臂架各点挠度坐标表示示意图

4 结论

本文设计了一种通过高精GPS 进行起重机臂架挠度测量，再通过多维插值实时计算挠度以及基于拟合曲线的起重机臂架挠度形变显示方案，能够实时地进行臂架挠度形变的动态计算和三维模拟，解决当前吊装仿真过程中无法实时计算挠度，以及在三维系统中仿真模拟臂架形变的问题，使吊装仿真系统更加贴近真实情况，吊装规划结果更加准确、可靠。